Найдите пары подобных треугольников и докажите их подобие. Запишите равенство отношений соответствующих сторон.

Ответ:

1. ΔMCN подобен ΔАСВ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

СМ : СА = 1 : 2

CN : CB = 1 : 2

∠С - общий.

СМ : СА = CN : CB = MN : AB

2. ΔМВN подобен ΔАВС по двум углам:

∠BNM = ∠ВСА по условию,

∠В - общий.

MB : AB = MN : AC = BN : BC.

3. ΔFCP подобен ΔKCE по двум углам:

∠CFP = ∠CKE как соответственные при пересечении параллельных прямых FP и КЕ секущей СВ,

∠С - общий.

CF : CK = FP : KE = CP : CE

ΔCFP  подобен ΔСВА по двум углам:

∠CFP = ∠CВА как соответственные при пересечении параллельных прямых FP и АВ секущей СВ,

∠С - общий.

CF : CB = CP : CA = FP : BA

ΔCKE подобен ΔСВА по двум углам:

∠CKE = ∠CВА как соответственные при пересечении параллельных прямых FP и АВ секущей СВ,

∠С - общий.

CK : CB = CE : CA = KE : BA.

4. ΔBCD подобен ΔВАС по двум углам:

∠BCD = ∠BAC по условию,

∠В - общий.

BC : BA = BD : BC = CD : AC.

5. MN ║ AC как прямые, содержащие противоположные стороны прямоугольника.

ΔBMN подобен ΔВАС по двум углам:

∠BMN = ∠ВАС как соответственные при пересечении параллельных прямых MN и АС секущей АВ,

∠В - общий.

BM : BA = BN : BC = MN : AC.

6. MN ║ АС и NP ║ АВ как прямые, содержащие противоположные стороны параллелограмма.

ΔBMN подобен ΔВАС по двум углам:

∠BMN = ∠ВАС как соответственные при пересечении MN ║ АС секущей АВ,

∠В - общий.

BM : BA = BN : BC = MN : AC.

ΔNPC подобен ΔBAC по двум углам:

∠NPC = ∠BAC как соответственные при пересечении NP ║ АB секущей AС,

∠C - общий.

NP : BA = NC : BC = PC : AC.

ΔBMN подобен ΔNPC по двум углам:

∠BNM = ∠NCP  как соответственные при пересечении MN ║ АC секущей BС,

∠B - общий.

BN : NC = BM : NP = NM : CP.

7. По чертежу ∠DAB = ∠СВА = 90°, ⇒ ВЕ ║  AD.

АС - биссектриса ∠DAB. Тогда

∠ВАС = ∠CAD  = 45°.

∠BCA = ∠DAC = 45° как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВЕ и AD секущей АС.

∠CAD = ∠CDA = 45° как углы при основании равнобедренного треугольника ACD. Значит ∠ACD = 90°.

ΔABC подобен ΔACD по двум углам:

∠АВС = ∠ACD = 90°, ∠ВАС = ∠CAD = 45°.

AB : AC = AC : AD = BC : CD.

8. ΔОСВ подобен ΔOAD по двум углам:

∠ОСВ = ∠OAD по условию,

∠СОВ = ∠AOD как вертикальные.

OC : OA = OB : OD = CB : AD.