гипотенуза и катет прямоугольного треугольника соответственно равна 10 см и 8 см. Расстояние от плоскости треугольника до центра шара, который касается всех сторон треугольника, равно 4 см. найдите радиус шара

 Плоскость пересекает шар по кругу. Радиус r круга, по которому треугольник АВС пересекает шар с центром О, равен радиусу окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник. 

Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности 

r=(b-c):2

Второй катет можно найти по т.Пифагора, и можно обратить внимание на то, что треугольник "египетский" с отношением 3:4:5. 

Отсюда АС=6 см.⇒

r=(8+6-10):2=2 (см)

Расстояние от плоскости треугольника до центра шара ОН=4.

 Радиус R шара из ∆ ОНМ по т.Пифагора: 

R=OМ=√(HO²+HM²)=√(16+4)=2√5 см