Вариант 2
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2a, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.

1. Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые ребра равны и составляют с плоскостью основания одинаковые углы. Высота пирамиды проецируется в центр основания.

ΔSOA: ∠SOA = 90°, SO = SA · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см

OA = SA · cos60° = 6 · 1/2 = 3 см

ОА - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

ОА = АВ√3/3

АВ = ОА√3 = 3√3 см

Sabc = AB²√3/4 = 27√3/4 см²

V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 27√3/4 · 3√3 = 81/4 см³

2. Так как пирамида вписана в конус, то основание пирамиды - прямоугольный треугольник - вписано в основание конуса. Центр основания конуса будет находиться на середине гипотенузы. Высота пирамиды совпадает с высотой конуса - SO.

Пусть ВС = 2а, ∠АВС = 30°.

Проведем ОК⊥ВС. ОК - проекция SK на плоскость основания, значит и SK⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠SKO = 45° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани SBC к основанию.

Так как и АС⊥ВС, то ОК║АС. ОК - средняя линия ΔАВС по признаку (проходит через середину стороны АВ и параллельна третьей стороне).

ΔАВС: AB = BC / cos30° = 2a / (√3/2) = 4a√3/3

R = AB/2 = 2a√3/3 - радиус основания конуса,

Sосн = πR² = 4a²π/3

АС = ВС · tg30° = 2a/√3 = 2a√3/3

ОК = АС/2 = а√3/3 как средняя линия,

ΔSKO прямоугольный, равнобедренный, ⇒

SO = OK = a√3/3.

Vконуса = 1/3 · Sосн · SO

Vконуса = 1/3 · 4a²π/3 · a√3/3 = 4a³√3/27