Через строну AD квадрата ABCD проведена плоскость а.Из вершины B на эту плоскость опущен перпендикуляр BB1.Найдите проекцию диогонали BD на плоскость а,если BD=6корней из 2,угол B1DA=60

Условие задачи некорректно. Иногда задачи с таким условием составляются специально.  Доказательство ниже. 

———

ВВ1 перпендикулярен плоскости альфа, следовательно, этот отрезок перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через В1. 

BD=6√2

∆ ВАD- прямоугольный равнобедренный.  Его острые углы равны 45°⇒

AD=BD•sin45°=6

По условию AD лежит в плоскости α.

Поэтому по т. о 3-х перпендикулярах  В1А⊥AD, C1D⊥DA, проекция квадрата ABCD на эту плоскость – прямоугольник АВ1С1D. 

Угол В1АD- прямой. 

Угол В1DА=60°(дано)

Проекция диагонали ВD на плоскость α – гипотенуза В1D

 треугольника В1АD

B1D=AD:cos60°=6:1/2=12

———————

Мы получили проекцию наклонной ВD, которая имеет большую длину, чем сама наклонная. Т.е. в прямоугольном ∆ ВВ1D длина катета B1D  больше длины гипотенузы BD, чего быть не может. Задача с таким же условием есть от 2015 г, и так именно задумана её составителями. 

Но если величина угла В1DА равна 30°,то проекция ВD на плоскост α  равна AD:cos30°=4√3. 

Или угол В1DB=60° -тоже получится допустимый результат.