4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК - его высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА = √(2) см, а ДАК = 45°.
5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30°. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.

4.CD⊥ (ΔABC)  ⇒  CD⊥CA;  CD⊥CBCK⊥AB - высота ΔABC  ⇒  DK⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.  ⇒(DKC)⊥(ABC)   ⇒   расстояние от точки А до плоскости DKC будет равно длине перпендикуляра AKΔDKA - прямоугольный, ∠DKA = 90°; ∠DAK = 45° ⇒ AK = DA*cos∠DAK = √2*(√2/2) = 1Ответ: расстояние от точки А до плоскости DKC равно 1 см5. DB⊥(ΔABC)  ⇒  DB⊥BA;  DB⊥BCΔABC: АС = ВС = 10 см, ∠В = 30° ⇒ΔABC - равнобедренный, ∠A=∠B = 30°; ∠BCA = 180°-2*30°=120°  ⇒  высота BK⊥AС лежит вне треугольникаΔBKC - прямоугольный: ∠BKC = 90°; BC = 10см∠BCK = 180° - ∠BCA = 60°  ⇒ BK = BC*sin∠BCA = 10*√3/2 = 5√3 смΔDBK - прямоугольный:  ∠DBK = 90°DB = 5 см;   BK = 5√3 см По теореме ПифагораDK² = DB² + BK² = 5² + (5√3)² = 100DK = 10 смDB⊥BK; BK⊥AC ⇒ DK⊥AC (по теореме о трех перпендикулярах)  ⇒DK = 10 см - расстояние от точки D до прямой ACВысота BM смТак как (ΔDBK)⊥(ADK) ⇒ BM = 2,5√3 см  - расстояние от точки В до плоскости ADCОтвет: расстояние от точки D до прямой AC 10 см;           расстояние от точки В до плоскости ADC   2,5√3 см