Через гипотенузу прямоугольного и равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 45 градусов. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с данной плоскостью

Пусть α – плоскость, проведенная через гипотенузу  ∆ АВС под углом 45°. 

Угол между плоскостью треугольника и плоскостью, проведенной через гипотенузу –двугранный и равен линейному углу между лучами. проведенными в плоскостях двугранного угла  перпендикулярно к одной точке на  его ребре. т.е. на гипотенузе АВ. 

Опустим СН перпендикулярно плоскости альфа. 

Проведем СМ⊥АВ. 

СМ- высота и медиана равнобедренного ∆ АВС.

МН - проекция СМ на плоскость α. 

По ТТП отрезок МН⊥АВ. ⇒

Угол СМН - данный и равен 45°

Примем АВ=2а, тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника  СМ=АВ:2=а.

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

Катеты АС=ВC=АМ:sin45°=а√2

∆ СМН - прямоугольный, угол СМН=45° (дано). 

СН=МН=СМ•sin45°=a•√2/2=а/√2

В равных  ∆ АСН и ∆ ВСН  катеты треугольника АВС –наклонные АС и ВС.

sin∠CAH=BH:AC= (a/√2):a√2=1/2– 'это синус 30°

∠СВН=∠САН=30°