Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 5 см и 13 см. Найдите периметр треугольника.

1) CD = 13 смDE = r = 5 смDG = DE = DF = 5 см – как радиусы вписанной окружностиРассмотрим ∆ CDF (угол CFD = 90°):По теореме Пифагора:CD² = DF² + CF²CF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144CF = 12 см2) Рассмотрим ∆ CBE (угол СЕВ = 90°):По теореме касательных к окружности, проведённых из одной точки BD – биссектриса угла ABCПо свойству биссектрисы:Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам →CD/ DE = CB/ BE = 13 / 5Пусть FB = BE = x , как отрезки кательных к окружности, проведённых из одной точки →CB / BE = 13 / 5( 12 + x ) / x = 13 / 513x = 5 × ( 12 + x )13x = 60 + 5x13x – 5x = 608x = 60x = 60/8 = 7,5 смЗначит, FB = BE = 7,5 смПо свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки →CG = CF = 12 смGA = AE = 7,5 см P abc = AC + CB + AB = 12 + 7,5 + 12 + 7,5 + 7,5 + 7,5 = 24 + 30 = 54 смОТВЕТ: P abc = 54 см.