В треугольнике ABC угол B равен 60°. Внутри треугольника отмечена точка O, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник ABC является тупоугольным

 Если точка равноудалена от вершин треугольника,  все отрезки, соединяющие точку О с вершинами треугольника, равны между собой и потому являются радиусами описанной около этого треугольника окружности.  Центр О описанной окружности лежит в точке пересечения срединных перпендикуляров. Для тупоугольного треугольника эта точка лежит вне его. Поэтому данный треугольник АВС  не может быть тупоугольным, поскольку точка О, равноудаленная от его вершин, лежит внутри треугольника.