Точка Q - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжении сторон AB и AC треугольника ABC, точка O - центр окружности w, описанной около треугольника BQC.
а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC
б) Найдите косинус угла BAC, если радиус окружности w, относится к радиусу окружности, описанной около треугольника ABC, как 4:3

а). Цитата: "Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних угловтреугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этимидвумя, пересекаются в одной точке, которая и является центромтакой окружности".В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A.<ABC=180°-<CBP,  <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных углов.Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно.Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или<BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA).Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а <BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу.<BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A.Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов<А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольникаможно описать окружность и при том только одну.Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежитна этой окружности, что и требовалось доказать.б). Пусть R/r=4/3.  r=(3/4)*R.<А+<BOC= 180° (доказано выше).CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC).ВС - общая хорда пересекающихся окружностей.По теореме косинусов из треугольника ОВС:BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1)Bз треугольника AВС:<BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC.<BJC=2<A.BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2)Приравняем (1) и (2):2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A)  или2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A)  или(1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A). По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A).Пусть CosA= Х, тогда:8+8Х=9-9Х²  или9Х²+8Х-1=0Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9.Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0.Ответ: CosA=1/9.