Очень срочно! Даю 30 баллов!
На прямой a даны две точки A и B, через точку B проводятся окружности, касающиеся прямой a. Найти геометрическое место середины отрезков, соединяющих точку A с центрами окружностей.

Ответ:

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Объяснение:

В - точка касания окружностей с прямой а, значит радиусы О₁В, О₂В, О₃В и О₄В перпендикулярны прямой а, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Через точку В можно провести единственный перпендикуляр к прямой а, значит центры всех окружностей лежат на одной прямой.

Пусть прямая m - серединный перпендикуляр  к отрезку АВ. Тогда m║О₁В как два перпендикуляра, проведенные к одной прямой.

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла равные отрезки. Если точка М - середина АВ, то прямая m проходит через середины отрезков АО₁, АО₂, АО₃ и АО₄.

Значит, геометрическое место середин отрезков, соединяющих точку А с центрами окружностей, - это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.