В прямоугольной описанной трапеции диагонали пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найдите площадь трапеции и радиус вписанной окружности.

Дана прямоугольная трапеция АВСД, диагонали которой пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найти площадь трапеции и радиус вписанной окружности.Так как трапеция прямоугольная, то сразу из задания находим ответ на вопрос: радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки К до вертикальной боковой стороны АВ и  равен 5.Тогда АВ = 2*5 = 10. Это также и высота Н трапеции.На основе свойства любой трапеции: треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие, находим наклонную боковую сторону.S(АВК) = S(СКД).Отсюда СД = 10*5/4 = 12,5.На основе свойства описанной трапеции: сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон, находим среднюю линию L трапеции.L = (10 + 12,5)/2 = 22,5/2 = 11,25.Получаем ответ:S = HL = 10*11.25 = 112.5 кв.ед.