В основе пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом бетта и радиусом вписанного круга r. Найти объём пирамиды, если её боковые ребра наклонены к плоскости основы под углом альфа.

а - катет основания, противолежащий с βb - катет основания, прилежащий к βс - гипотенузаa = c*sin(β)b = c*cos(β)Площадь основания через катетыS = 1/2*a*b = 1/2*c*sin(β)*c*cos(β) = c²/4*sin(2β)Площадь основания через полупериметр и радиус вписанной окружностиS = 1/2*(a+b+c)*r = 1/2(c*sin(β) + c*cos(β) + c)*r = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*rc²/4*sin(2β) = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*rc*sin(2β) = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*rc = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r/sin(2β)S = c²/4*sin(2β) = (sin(β) + cos(β) + 1)²*r²/sin(2β)Высота пирамидыh/r = tg(α)h = r*tg(α)Объём пирамидыV = 1/3*S*h = 1/3*(sin(β) + cos(β) + 1)²*r³*tg(α)/sin(2β)