докажите, что треугольник MPK равен треугольнику PNM, если угол KMP равен углу NPM

МР - общая сторона у треугольников. Так как углы К и N равны по 90 градусов, то МР является гипотенузой для каждого треугольника.Углы КМР и NPM - это острые углы при гипотенузе. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу.