Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D .
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC , если объём
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 48корень3 , AB = 2корень3 и AD = 6

I.   Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный, все грани - прямоугольники.  К - середина ребра AD:  AK = KDПрямая BD₁ содержит диагональ параллелепипеда.Диагональ BD₁ лежит в плоскости диагонального сечения BB₁D₁D.B₁B⊥(ABCD)  и  D₁D⊥(ABCD)  ⇒   (BB₁D₁D)⊥(ABCD)Построение плоскости α:1) из точки K провести перпендикуляр к диагонали основания BD до пересечения с ребром BC:   KE⊥BD;   P∈BC;2) из точки Е провести перпендикуляр к диагонали параллелепипеда BD₁ до пересечения с ребром BB₁ : EF⊥BD₁; M∈BB₁;3) соединить точки M и P;4) от точки К в плоскости AA₁D₁D провести отрезок KN║MP;5) соединить точки N и M.Четырёхугольник  KNMP - сечение плоскостью α параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁KE⊥BD; MB⊥BD ⇒ ME⊥KE по теореме о трёх перпендикулярах  ⇒∠MEB - угол между плоскостью α и основанием ABCDДоказать:  ∠MEB=∠BB₁DBB₁D₁D - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ⇒ΔBOD - равнобедренный :  ∠OBD=∠ODBΔBB₁D и ΔFEB :  ∠B₁BD = ∠BFE = 90°; ∠FBE=∠B₁DB  ⇒∠FEB = ∠BB₁D Таким образом   ∠MEB = ∠BB₁DII.  Дано: V = 48√3; AB = 2√3; AD = 6Найти ∠MEBV = AB*AD*BB₁ΔBAD - прямоугольный : ∠BAD = 90°; AB = 2√3; AD = 6Теорема ПифагораBD² = AB² + AD² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48BD = √48 = 4√3ΔB₁BD - прямоугольный : ∠B₁BD = 90°; BD = 4√3; BB₁ = 4tg∠BB₁D = BD/BB₁ = 4√3 / 4 = √3√3 - табличное значение тангенса угла 60°  ⇒∠MEB = ∠BB₁D = 60°Ответ: угол между плоскостью α и плоскостью ABCD равен 60°

1) BD1 вектор нормали к плоскости альфаВВ1 вектор нормали к плоскости АВС Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.2)Найдем АА1| АА1 | = V / | AB | / | AD | = 4Пусть А- начало координатОсь Х - АВОсь У - АDОсь Z - AA1Вектора ВВ1 (0;0;4) длина 4 В1D(-2√3;6;-4) длина √(12+36+16)=8Косинус угла между векторами и искомыми плоскостями равен| ВВ1 * B1D | / | BB1| / | B1D | = 16/4/8= 1/2Угол 60 градусов.