В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС. Прямая PF пересекает боковые стороны АВ и АС в точках Р и Fсоответственно. Длина отрезка АР равна 31 дм. Угол В треугольника АВС равен углу APF. Найдите длину отрезка АF.

Если угол В равен углу APF, то прямая PF параллельна BC, так как углы соответственные при параллельных прямых PF и DC  и секущей BA.Аналогично угол С равен углу  AFP при параллельных прямых PF и DC  и секущей АС.Поскольку углы В и С раны, то углы  APF и AFP, следовательно треугольник APF  равнобедренный , AP=AF=31

В данной задаче воспользуемся свойством равных углов.