В треугольнике ABC проведённые медианы AN и BK пересекаются в точке M. Определи площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BNM равна 23см2.

Решение:SΔАВN=1/2SΔАВС (т.к. медиана AN делит ΔАВС на два равновеликих треугольника). BN=CN, у них h (высота) - общая. Проведем АР⊥ВС, МR⊥ВС. ΔРNА и ΔRNМ - подобные.АN относится к MN как AP относится к NR (АN:MN = AP:NR).Точка М делит медианы от вершины на отрезки в соотношении 2:1 (АМ:MN), следовательно АN:MN=3:1. AP - высота ΔВNA, NR- высота ΔВNМ (ВN - общее основание) и AP:NR=3:1.SΔВNM=1/3*SΔВNA=1/3*1/2*ΔАВС=1/6*SΔАВС, SΔABC=6*SΔВNM=6*23=138.Ответ: SΔABC=138 см2

Медианы делят треугольник на шесть равновеликих.S(ABC)= 6S(BNM) =23*6 =138 (см^2)-------------------------------------------------Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. △CBM и △CMK имеют общую высоту, следовательно их площади относятся как основания, 2:1. Медиана MN делит △CBM на два равной площади. S(BMN)=S(CMN)=S(CMK).Аналогично S(BMP)=S(AMP)=S(AMK).Медиана MK делит △AMC на два равной площади, S(AMK)=S(CMK).