Свойства вписанного угла. Формулировка и доказательство

Напомним некоторые определения

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окружности   называется дугой.

Дуга имеет угловое измерение.

Градусная мера дуги  равна градусной мере соответствующего центрального угла :

Рассмотрим примеры:

Рис. 2

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

 

Рис. 3

Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол  называется вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).

2. Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

Рис. 4

Доказательство:

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказать, что 

Обозначим угол  через , тогда угол  также будет равен , так как треугольник  равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол  является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги  есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла  (см. Рис. 6).

Рис. 6

Доказать, что 

Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол  за  и тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Угол  за , тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Вся дуга  равна:

Угол  в свою очередь, равен .

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

Доказать, что 

Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол  через , тогда дуга  (объяснение см. случай 1). Угол  обозначим через , тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Дуга  является разностью большой дуги  и дуги :

Вписанный угол  равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.

3. Следствия теоремы о вписанном угле

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.

4. Теорема о хордах

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

Рис. 10

Доказать, что 

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и  (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы  и ; вписанные углы  и  опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается . Доказательство : Пусть угол АВС - вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на душу АС. Докажем, что угол АОС =1/2 дуги АС.