С данной точки A до плоскости проведены две наклонные AB и AD и перпендикуляр AO. Длины наклонных на плоскость равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите AO, если OB: OD = 9:16

обозначаем длину AO за x, получаем два прямоугольных треугольника AOB и AOD. В котором роль общего катета играет AO, гипотенузы (наклонные) известны, а OB и OD могут быть найдены по теореме Пифагора:

OB = корень(AB^2 - x^2) = корень(15*15-x*x)

OD = корень(AD^2 - x^2) = корень(20*20-x*x)

их отношение известно, то есть можем составить уравнение

корень(15*15-x*x)/корень(20*20-x*x) = 9/16

Попробуем преобразовать это уравнение и решить:

(1) возводим в квадрат обе стороны

(15*15-x*x)/(20*20-x*x) = (9*9)/(16*16)

умножаем на (20*20-x*x) и (16*16)

(16*16)*(15*15-x*x) = (9*9)*(20*20-x*x)

раскрываем скобки

16*16*15*15 - 16*16*x*x = 9*9*20*20 - 9*9*x*x

прибавляем к обеим сторонам 16*16*x*x - 9*9*20*20

16*16*15*15 - 9*9*20*20 = 16*16*x*x - 9*9*x*x

или

(16*16 - 9*9)*x*x = 16*16*15*15 - 9*9*20*20

окончательно:

x*x = (16*15 - 9*20)*(16*15 + 9*20)/(16-9)(16+9) = 25*9*16(4-3)*(4+3)/(7*25) = 9*16 = 144

или

x = 12 см - длина AO