Знайти квадрат площі паралелограма, якщо його більша діагональ дорівнює 2√7, а висоти дорівнюють √3 і 2√3 .

Диагональ параллелограмма ЦН высотой КГ делится на отрезки ЦГ и ГН

x+y = 2√7

Теорема Пифагора для ΔЦКГ

a² = x² + h²

Теорема Пифагора для ΔНКГ

b² = y² + h²

ΔЕНЦ и ΔКГН подобны - один угол общий, второй угол прямой

2√7/√3 = b/h

ΔЦУН и ΔКГН подобны - один угол общий, второй угол прямой

2√7/(2√3) = a/h

-----------

Пять переменных, пять уравнений. Можно начинать, всё готово.

a = h√7/√3

b = h(2√7)/√3

подставляем в три другие уравнения

---

x + y = 2√7

h²7/3 = x² + h²

h²4*7/3 = y² + h²

---

x + y = 2√7

h²4/3 = x²

h²25/3 = y²

---

полагаем, x>0 y>0

x + y = 2√7

h*2/√3 = x

h*5/√3 = y

---

h*2/√3 + h*5/√3 = 2√7

7h/√3 = 2√7

h₁ = 2√3/√7

a₁ = h₁√7/√3 = 2

b₁ = h₁(2√7)/√3 = 4

S₁ = 2√7*h₁ = 4√3

S₁² = 16*3 = 48

---

Попробуем ещё варианты, при которых высота ГК находится на продолжении диагонали ЦН

полагаем, x<0 y>0

x + y = 2√7

h*2/√3 = -x

h*5/√3 = y

---

-h*2/√3 + h*5/√3 = 2√7

3h/√3 = 2√7

h√3 = 2√7

h₂ = 2√7/√3

a₂ = h₂√7/√3 = 14/3

b₂ = h₂(2√7)/√3 = 28/3

S₂ = 2√7*h₂ = 28/√3

S₂² = 784/3

---

Ещё вариант, попробуем передвинуть высоту в другую сторону, если получится

полагаем, x>0 y<0

x + y = 2√7

h*2/√3 = x

h*5/√3 = -y

---

h*2/√3 - h*5/√3 = 2√7

-3h/√3 = 2√7

-h√3 = 2√7

h = -2√7/√3

Нет, третьего решения нет.

Как нет и четвёртого решения с x<0 y<0

Итак, ответ

S₁² = 48

S₂² = 784/3