В пареллелограмме АВСД проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в триугольник АВС.Росстояния от точки О до точки А и прямых АД иАС соответственно равны 25, 19 и 7.Найдите площадь параллелограмма АВСД

Расстояния от О до AD и перпендикуляр из О на BC лежат на одной прямой (так как стороны параллелограмма попарно параллельны) и составляют высоту параллегограмма → h = 19 + 7 = 26 → Sabcd = BC * h = 26*BC

С О опускаем опускаем перпендикуляры на стороны АВС. Точка на AC назовем E, на ВС - F, на AB - G. ЕС = CF, BF = BG, AE = AG

По теореме Пифагора AG = AE = √25^2 - 7^2 = 24. BC = BG + EC → Pabc = AG + AE + 2* BC = 2(AE + BC) → Sabc = 1/2 rPabc = 7(24 + BC)

Sabcd = 2*Sabc = 14(24 + BC)

14(24 + BC) = 26*BC

336 + 14*BC = 26*BC

BC = 336 / 12 = 28

Sabcd = 28 * 26 = 728

--- 1 ---

из ΔАОК

x² + 7² = 25²

x² = 625 - 49 = 576

x = 24

--- 2 ---

подготовительная работа

sin(α) = 19/25

cos(α) = √(1-19²/25²) = √(625 - 361)/25 = √264/25 = 2√66/25

--- 3 ---

и ещё синусы

sin(β) = 7/25

cos(β) = 24/25

cos(2β) = cos²(β) - sin²(β) = (24/25)² - (7/25)² = 527/625

--- 4 ---

Надо больше синусов!!!

sin(α + β) = sin (α) · cos (β) + cos (α) · sin (β)

sin(α + β) = 19/25 · 24/25 + 2√66/25 · 7/25 = (456+14√66)/625

--- 5 ---

ЕН - высота параллелограмма

АВ*sin(α+β) = ОН + ОЕ

(x+y)*sin(α+β) = 19 + 7

(24+y)*(456+14√66)/625 = 26

24+y = 26*625/(456+14√66)

Иррациональность в знаменателе... нехорошо. Домножим на сопряжённое

24+y = 26*625*(456-14√66)/(456² - (14√66)²)

24+y = 26*625*(456-14√66)/(207936 - 196*66)

24+y = 26*625*(456-14√66)/(207936 - 12936)

24+y = 26*625*(456-14√66)/195000 = 26*(456-14√66)/312 = (456-14√66)/12

24+y = 38 - 7√66/6

y = 14 - 7√(11/6)

И это прекрасно :)

--- 6 ---

Теорема косинусов, треугольника АВС, сторона ВС

ВС² = AC² + AB² - 2*AB*AC*cos(∠BAC)

(y+z)² = (x+y)² + (x+z)² - 2(x+y)*(x+z)*cos(2*β)

(y+z)² = (24+y)² + (24+z)² - 2(24+y)*(24+z)*527/625

y² + 2yz + z² = 576 + 48y + y² + 576 + 48z + z² - 2*527/625*(576 + 24y + 24z + yz)

2yz = 576 + 48y + 576 + 48z - 2*527/625*(576 + 24y + 24z + yz)

yz = 576 + 24y + 24z - 527/625*(576 + 24y + 24z + yz)

625yz = 625*576 + 625*24y + 625*24z - 527*(576 + 24y + 24z + yz)

625yz = 360000 + 15000y + 15000z - 303552 - 12648y - 12648z - 527yz

1152yz = 2352y + 2352z + 56448

24yz = 49y + 49z + 1176

y(24z - 49) = 49z + 1176

Подставляем y

(14 - 7√(11/6))(24z - 49) = 49z + 1176

(2 - √(11/6))(24z - 49) = 7z + 168

48z - 98 - 4√66z + 49√(11/6) = 7z + 168

41z - 4√66*z = 266 - 49√(11/6)

z = (266 - 49√(11/6)) / (41 - 4√66)

Домножаем на сопряжённый множитель

z = (266 - 49√(11/6))(41 + 4√66) / (41² - (4√66)²)

z = (266*41 + 266*4√66 - 49*41√(11/6) - 49*4*11) / (1681 - 16*66)

z = (10906 + 1064√66 - 2009√(11/6) - 2156) / 625

z = (10906 + 1064*6√(11/6) - 2009√(11/6) - 2156) / 625

z = (8750 + 4375√(11/6)) / 625

z = 14 + 7√(11/6)

--- 7 ---

Стороны параллелограмма

АВ = x + y = 24 + 14 - 7√(11/6) = 38 - 7√(11/6)

АД = ВС = y + z = 14 - 7√(11/6) + 14 + 7√(11/6) = 28

Площадь

S = АВ*АД*sin(∠ВАД)

S = (38 - 7√(11/6))*28*(456+14√66)/625

S = 28/625*(38*456 - 7*14*11 - 7*456√(11/6) + 38*14√66)

S = 28/625*(17328 - 1078 - 532√66 + 532√66)

S = 28*26

S = 728