в треугольнике авс взята произвольная точка о докажите что ао+во+со меньше периметра треугольника

Треугольник не обязательно остроугольный. Треугольник любой...

Точка О находится внутри треугольника, а центр описанной окружности может быть как на стороне, так и вне треугольника. Так что нестыковка....

Да, не рассмотрел случай тупоугольного треугольника. Но там все еще проще: достаточно рассмотреть случай вырожденного треугольника, а дальше посмотреть как меняются величины при уменьшении угла от 180 до 90.

Все, я , кажется, наконец-то нашел простейшее и элементарнейшее решение данной задачи. Она мне все мозги проела....

любопытно

Максимальное значение AO+BO+CO принимает тогда, когда O - центр описанной окружности треугольника. То есть AO+BO+CO = 3R;

Пусть α, β, γ - углы треугольника. Поскольку точка О лежит внутри треугольника, то треугольник остроугольный. Минимальное значение периметра установим по теореме синусов: ; При этом , что и требовалось