В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Основание данной пирамиды - равносторонний треугольник АВС, боковые грани - равнобедренные треугольники. SO - высота, О - центр основания.

M и N — середины рёбер SA и SB, => MN- средняя линия ∆ ASB.

MN║AB=> MN║ABC

Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. =>

Плоскость сечения перпендикулярна АВС. Для её построения из середины Q отрезка MN опустим перпендикуляр QP на плоскость АВС.

QP║SO, Р принадлежит высоте основания СН.

Прямая KR- линия пересечения плоскости альфа и АВС. Плоскость КМNR содержит прямую QP, перпендикулярную АВС => она перпендикулярна АВС ( свойство).

КМNR - сечение, площадь которого нужно найти, и является трапецией.

Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.

S(KMNR)=QP•(MN+KR):2

Высота трапеции QP║ЅО, MN как средняя линия ∆ АЅВ делит апофему ЅН пополам. ⇒ QP - средняя линия ∆ ЅНО и равна половине SO.

ОС- высота и медиана ∆ АВС, О - центр ∆ АВС и делит СН в отношении 2:1

ОH =ВС•sin60°= 2√3•(√3/2)=3

OC=2, OH=1

Из прямоугольного ∆ ЅОС по т.Пифагора ЅО=√(SC*-OC*)=√(16-4)=2√3 => QP=√3

В прямоугольном ∆ ЅОН , где QP- средняя линия, НР=РО=1:2=0,5

Тогда СР=СО+ОР=2+0,5=2,5

KR|║AB

∆ КСR- равносторонний, все его углы 60°.

KR=CR=CP:sin60°=2,5:(√3/2)=5/√3=5√3/3

MN=AB:2=√3

S(KMNR)=0,5•[√3+(5√3/3)•√3=4 (ед. площади)