Основанием 4-угольной пирамиды SABCD является прямоугольник
ABCD со сторонами AB = 2 и AD = 3. Высота пирамиды длиной
12/√23 падает в точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.
Плоскость проходит через точку A, параллельна прямой BD, касается
шара радиуса 1 с центром в точке S и пересекает ребро SC. В каком
отношении она делит это ребро?

Проведём осевое сечение через боковые рёбра SA и SC.

Половина диагонали АО = √(2² + 3²)/2 = √13/2.

Угол А = arc tg(H/AO) = (12/√23)/(√13/2) = 24/√299 ≈ 1,387955837 .

Этому тангенсу соответствует угол А = 0,946454578 радиан или 54,2278528°.

Угол при вершине равен 180 - 2∠А = 71,5442944°.

Найдём длину бокового ребра L.

L = √(H² + (√13/2)²) = √((144/23)+(13/4)) = √(875/92) = 5√35/(2√23).

Заданная плоскость рассечена секущей плоскостью по прямой АМ, где М - точка пересечения ребра SC.

Опустим перпендикуляр из точки S на отрезок АМ в точку К.

В прямоугольном треугольнике ASK определим угол ASK.

∠ASK = arc sin(1/L) = arc sin(2√23)/(5√35) ≈ 71,07940953°.

Как видим, угол между ребром SC и перпендикуляром к касательной к окружности R = 1 равен 0,464884873 градуса.

Расстояние между точками К и М равно 0,00811395 .

Поэтому с допустимой точностью можно принять, что окружность отсекает от ребра отрезок SM = 1.

Ответ: ребро SC делится заданной секущей плоскостью

в отношении 1 : 2,08.

.