Медианы аа1 и вв1 треугольника АВС перпендикулярны друг другу. Найти все три медианы если AB=10 и AC=4корень из 13

Ответ:

     AA₁ = 9 см

     ВВ₁ = 12 см

     СС₁ = 15 см

Объяснение:

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Обозначим ОА₁ - х, тогда ОА = 2х,

ОВ₁ = у, тогда ОВ = 2у.

Из двух прямоугольных треугольников АОВ и АОВ₁ составим уравнения по теореме Пифагора.

4x² + 4y² = 100

4x² + y² = (2√13)² = 52

Вычтем из первого уравнения второе:

3y² = 48

y² = 16

y = 4

4x² = 100 - 4y²

x² = 25 - y²

x = √(25 - 16)

x = 3

AA₁ = 3x = 9 см

ВВ₁ = 3у = 12 см

ОС₁ - медиана прямоугольного треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе, значит равна ее половине:

ОС₁ = 1/2 AB = 5 см

СС₁ = 5 · 3 = 15 см