Дано треугольник ABC. Найдите точку M такую, чтобы в четырехугольник ABCM можно было вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Нам даны три вершины вписанного четырехугольника: А, В и С. Надо найти четвертую вершину, удовлетворяющую условию задачи.

Свойства: У вписанного четырехугольника сумма протволежащих углов равна 180°. МAB+<BCМ = <АВС+<АМС=180°. (1)

Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. (2)

Определение условий для построения

Пусть центр вписанной окружности О, тогда в четырехугольнике АВСО:

<АОС = 360° - <ВАО-<АВС-<ВСО или

<АОС = 360° - <АВС - ((1/2)*<МАВ + (1/2)<МСB)) (из 2).

Но из (1) ясно, что (1/2)*<МАВ + (1/2)*<МСB =90°.

Значит для удовлетворения условий задачи необходимо, чтобы

<АОС = 270° - <АВС.

а). Построение центра вписанной окружности.

Построим на отрезке АС треугольник АОС с углом

АОС = 270° - <АВС. Для этого:

1. Построим угол, равный (270 - <АВС)° и разделим его пополам.

2. Построим равнобедренный треугольник АРС с основанием АС и углами при основании АС, равными полученному в п.1 углу.

Построим описанную около треугольника АРС окружность и на пересечении этой окружности с биссектрисой угла АВС отметим точку О - центр вписанной окружности.

б). Найдем точку М: От луча АО отложим угол ОАК = углу ОАВ. => АО является биссектрисой утла КАВ. На пересечении луча АК и окружности, описанной около треугольника АВС, отметим искомую точку М.

Полученный четырехугольник АВСМ - вписанный и описанный.

Доказательство.

Поскольку все четыре вершины лежат на окружности, четырехугольник АВСМ вписанный.

<ABC=2*<ABO.

∠BОC = ∠AОC − ∠AОB = (270° − <ABC) − (180° − <BAO −<ABO) или

∠BОC =90° + <BAO −<ABO.

∠OCB = 180° − ∠OBC − ∠BOC или

∠OCB =180° − <ABO − (90 + <BAO − <ABO) = 90° - <BAO.‍

Но ∠BAO + ∠BCO = 180°,‍ тогда

∠OCМ = ∠BCМ − ∠BCO = (180° − <ABC) − (90° − <BAO) = 90° − <BAO = ∠BCO.

‍Итак, <OCМ=<ВCO => CO -‍ биссектриса угла C.

Значит, О -‍ точка пересечения биссектрис углов A, B‍ и C или центр вписанной окружности‍ четырёхугольника ABCМ, то есть четырехугольник АВСМ - описанный.

Что и требовалось доказать.

P.S. Порядок построения углов, равных данному и углов, равных половине данного, нахождение центра вписанной и описанной окружности, так же как и построение серединного перпендикуляра к отрезку и перпендикуляра из точки к прямой опущен, так как это стандартные построения.

Если угол АВС<90, то построение аналогично, за исключением того, что равнобедренный треугольник строится на основании АС с углами при основании равными (360-(270-<ABC))/2 = 90°+<ABC. В полуплоскости (относительно прямой АС), не содержащей точку В (смотри второе приложение).