Пусть I — центр вписанной окружности четырехугольника ABCD. Известно, что ∠A=47∘, ∠C=99∘.
Найдите градусную меру ∠AIB+∠CID.

ДАНО: АВСD - четырёхугольник ; вписанная окружность ( I ; r ) ; угол А = 47° ; угол С = 99° НАЙТИ: угол АIB + угол CID________________________РЕШЕНИЕ:1) ( см. рис. 2 ) По признаку равенства прямоугольных треугольниках :∆ АIF = ∆ АIE - по катету и гипотенузе ( ЕI = FI - как радиусы окружности ; AI - общая сторона )В равных треугольниках соответственно равные элементы ( стороны и углы ) =>угол ЕАI = угол IAF = 47°/ 2 = 23,5°2) ( см. рис. 1 ) Аналогично, угол ABI = угол CBI ; угол BCI = угол DCI = 99°/ 2 = 49,5° ,угол ADI = угол CDIПусть угол ABI = а , угол CDI = b, тогдаСумма углов в любом выпуклом четырёхугольник равна 360° 3) Рассм. ∆ АВI:Сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180° :угол АIB = 180° - 23,5 - a Соответственно, угол CID = 180° - 49,5 - b Значит, угол AIB + угол CID = ________________________P.S. Можно было обойтись без данных углов1) Пусть угол ВАI = a , угол ABI = b , угол DCI = c , угол CDI = dСумма углов в любом выпуклом четырёхугольник равна 360° 2a + 2b + 2c + 2d = 360°a + b + c + d = 180°2) Рассм. ∆ АВI:Сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180° :угол АIB = 180° - a - bСоответственно, угол CID = 180° - c - dЗначит, угол AIB + угол CID = 180° - a - b + 180° - c - d = 360° - ( a + b + c + d ) = 360° - 180° = 180°ОТВЕТ: угол AIB + угол CID = 180°