ПОМОГИТЕ!!! ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!!
О - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Радиусы кругов, описанных вокруг треугольников АВС и АОВ, равны 5 корней из 2 см и 5 см соответственно. Найдите величину угла С.

угол ВОА=90+альфа сейчас исправлю)

согласен , желательно знать все теоремы(задачи) из книги Гордина "Теоремы и задачи школьной геометрии " , но боюсь наш школьник не поймет наших решений

буду рад ошибиться

очень красивое решение , но картинки не хватает

Скоро добавлю рисунок )

как дополнение -доказательство теоремы о трезубце , которую использовал Михаил

S-центр окружности , описанной около тр AO1C, а еще на этой окружности лежит центр вневписанной окружности , касающейся стороны АС ( небольшое обобщение)

Добавил.

баллы мне не нужны , это так-развлечение

А мы пойдём другим способом:А) Рассмотрим рисунок 2 :Пусть угол ВСО = аОбозначим точку K, как точку пересечения прямой СО с окружностью, описанной около ∆ АВС, точка О – центр вписанной окружности ∆ АВС, тогда →KB = KO = KA = 5 см - радиусы описанной окружности около треугольника АВО – по теореме о трилистнике или лемме о трезубце, или лемме Мансиона.Рассмотрим ∆ ВКС:По теореме синусов:2R = BK / sin ВСО2·5√2 = 5/ sina sina = √2/4cosC = cos2a = 1 – 2sin²a = 1 – 2·( √2/4 )² = 3/4 →угол С = arccos( 3/4 )Или можно поступить следующим образом:Б) Рассмотрим рисунок 1 :точка Е - центр окружности, описанной около треугольника АВСKE = AE = 5•( корень из 2 )Рассмотрим тр. АКЕ:По теореме косинусов:АК^2 = АЕ^2 + КЕ^2 - 2• АЕ•КЕ•cos AEK25 = 50 + 50 - 2•50•cos AEKcos AEK = 3/4 угол АЕК = arccos( 3/4 )Угол АСВ является вписанным углом окружности с центром в точке Е▪Вписанный угол равен половине дуги, на которую этот угол опирается ▪Угол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB U BK = U KA - равные хорды ВА и КА стягивают равные дугиУгол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB = U KA = U BKУгол АКЕ является центральным углом окружности с центром в точке Е ▪ Центральный угол равен дуге, на которую этот угол опирается ▪Угол АКЕ = U KAЗначит, угол АСВ = угол АКЕ = arccos( 3/4 )Также если сделать замену:r - радиус описанной окружности около треугольника АОВR - радиус описанной окружности около треугольника АВС , тогдаугол АСВ = arccos( ( 2R^2 - r^2 )/ 2R^2 )ОТВЕТ: угол С = arccos( 3/4 )