апофема правильной треугольной пирамиды равна 12см, а двугранный угол при основании 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые грани равные равнобедренные треугольники, высота проецируется в центр основания.

Пусть Н - середина ВС. Тогда SH медиана и высота равнобедренного треугольника SBC. SH - апофема пирамиды. SH = 12 см.

АН - медиана и высота равностороннего треугольника АВС.

АН⊥ВС, SH⊥ВС, ⇒ ∠SHA = 60° - линейный угол двугранного угла при основании.

ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos60° = OH / SH,

              OH = SH · cos60° = 12 · 1/2 = 6 см

ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник АВС:

OH = BC√3/6,    

BC = 6OH / √3 = 36/√3 = 12√3 см

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 3 · BC · SH = 1/2 · 3 · 12√3 · 12 = 216√3 см²