Дан треугольник ABC. через точки B и C проведена окружность, пересекающая прямые AB и AC в точках M и N соответственно. MC и NB пересекаются в точке O. Прямая AO пересекает BC в точке K. Найдите длину AK, если AB=8, AC=9, угол CMA прямой, угол MCB равен 30o

Так как <CMA=90° (дано), значит и <CMB=90°, так как эти углы смежные. => ВС - диаметр окружности. Следовательно, <BNC=90°, так как он вписанный и опирается на диаметр. Точка О - пересечение высот треугольника АВС, значит и АК - высота этого треугольника.  В прямоугольном треугольнике АМС угол МСВ равен 30°, следовательно, угол МВС равен 60° (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°) Тогда в прямоугольном треугольнике АВК катет АК = АВ*Sin60 = 8*√3/2 =4√3.

Ответ: АК = 4√3 ед.