Площадь правильного треугольника ABC равна 32 см ^ 2. Точка N - середина отрезка AC, а точка M, L расположена так, что NM перпендикулярна BC, ML перпендикулярна AB, KN перпендикулярна NM. Найдите площадь четырехугольника KLMN

Для удобства расчётов примем 1/8 часть стороны треугольника за х.

Площадь четырехугольника KLMN легче определить вычитанием трёх треугольников из заданного.

Стороны треугольника АKN равны половине исходного, тогда S1 = (1/4) *32 = 8 см².

Используя свойства прямоугольных треугольников с углами 60 и 30 градусов, находим площади треугольников BLM и CNM.

S(BLM) = (1/2)*3x*3√3x = (9/2)√3x² см²,

S(CNM) = (1/2)*2x*2√3x = 2√3x² см².

Их сумма равна S2 + S3 =  (9/2)√3x² + 2√3x² = (13/2)√3x² см².

Сторону исходного треугольника определяем на основе формулы площади равностороннего треугольника.

S = a²√3/4.

a = √(4S/√3) = √(4*32/√3) = 8√(2/√3).

Так как х = а/8, то х² = а²/64 = 64(2/√3)/64 = (2/√3).

Находим площадь S2 + S3 =  (13/2)√3*(2/√3) = 13 см².

Ответ: S(KLMN) = 24 - 13 =11 см².