Пирамида SABCD
Пусть K — середина ребра SD, M — середина ребра AB, а пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол
между прямыми AK и SM.
Только не координатным методом пж.

Используем метод переноса.

Примем длину ребра пирамиды равной 4 (для удобства деления на части).

Так как у пирамиды все рёбра равны, то в основании квадрат 4х4, а боковые грани - правильные треугольники.

Заданные отрезки как высоты в правильных треугольниках равны между собой и равны 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.

Перенесём отрезок MS точкой М в точку А, то есть на величину в 2 единицы. Точка S передвинется в точку S' так, что её проекция - это середина стороны АД.

Находим высоты точки S и точки К.

Диагональ АС = 4√2. Тогда треугольник АSС - прямоугольный, так как АS = SС = 4. Углы наклона боковых рёбер к основанию равны 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна половине её диагонали основания, то есть 4√2/2 = 2√2.

Высота точки К равна половине этой величины, то есть √2.

Проекция отрезка S'K на основание равна (1/4) части диагонали, или √2.

Находим натуральную длину отрезка S'K как гипотенузу в прямоугольном треугольнике с одним катетом √2 и вторым, равным разности высот точек S' и К, то есть 2√2 - √2 = √2.

Отсюда видим, что длина отрезка S'K равна 2.

Все стороны треугольника S'АK определились и находим искомый угол между заданными отрезками как угол А в равнобедренном треугольнике со сторонами 2 по 2√3 и 2.

Этот угол равен 2arc sin(1/(2√3)) = 0,585686 радиан или 33,55731 градуса.