В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K - середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3. Докажите, что KM ⊥ AC

УМНИЦА!

Это Олежа теорему Фалеса один раз выучить надо. А потом забыть уже - зачем она нужна - если и так координаты понятны ))

Я её знаю, но как минимум тебе следовало её указать. хотя она тут вообще не нужна

Еще раз - расставить координаты точек в прямоугольном базисе - это не бог весть какая задача. Достигается цель один раз - возьми к примеру шестиугольную призму /пирамиду - и один раз в уме без рисунка проговори координаты всех ее точек ( плюс середины сторон если захочешь ) - все - дальше как из пушки координаты точек отстреливать будешь ))

попробую)

Тэбе понравится ))

Пусть А + начало координат .

Ось Х - АС

Ось У - перпендикулярно Х в сторону В

Ось Z - AA1

Пусть AC - a

Высота основания h

Высота призмы Н

АС (а:0;0)

К(а/4;h/2;H)

M(a/4;0;0)

KM (0;-h/2;-H)

KM * AC = 0 - перпендикулярны.

Ну конечно в ЕГЭ нужно все подробно расписывать там по 1,2 признаку подобия и тд. Думаю, сам как нужно распишешь....

Проведем KO∥AA1

И сделаем проекцию KM на пл ABC

Это будет прямая OM

Рассмотрим плоскость основания, в нем проведем высоту BH-она делит основание AC пополам, так как по условию треугольник равнобедренный

Но тут не трудно заметить, что △AMO подобен △AHB  с коэффициентом подобия равным 2. Значит MO∥BH  и MO  перпендикулярно AC

Теперь т о 3-х перпендикулярах. Если прямая перпендикулярна проекции прямой на плоскость. То такая прямая перпендикулярна этой прямой.

У нас MO перпендикулярна AC значит по т о 3-х перпендикулярах KM перпендикулярна прямой AC  ч.т.д