Написать уравнения касательных, проведенных из точки A( 10/3, 5/3) к эллипсу x²/20+y²/5=1

Выразим уравнение эллипса x²/20+y²/5=1 относительно у.

у =+-(1/2)*√(20 - х²). То есть получаем 2 уравнения - они выражают верхнюю и нижнюю половины графика относительно оси Ох.

Производная функции равна:

верх y' = -х/(2√(20 - х²)),

низ   y' = х/(2√(20 - х²)).

Получаем 2 уравнения касательных (точка касания (хо; уо)):

у = (1/2)*√(20 - хо²) - х/(2√(20 - х²))*(х - хо).                                 (1)

у = -(1/2)*√(20 - хо²) + х/(2√(20 - х²))*(х - хо).                               (2)

Известно, что уравнение касательной к эллипсу имеет вид:

(ххо/а²) + (ууо/в²) = 1.                                                                      (3)

Так как касательная проходит через точку А, подставим её координаты в уравнение (3).

(10*хо/(3*20)) + (5*уо/(3*5)) = 1,

10хо + 20уо = 60.

Получаем хо + 2уо = 6 или

хо = 6 - 2уо.                                                                                    (4)

Подставив хо их уравнения (4) в уравнения (1) и (2), получим уравнения касательных:

у = -х + 5,

у = -х + 2,5.