На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС выбрана любая точка М и с нееопущен перпендикуляри МК и МР на катет этого триугольника . При каком розположении точки М длина отрезка КР будет как можно меньше

Тогда, когда точка M совпадает с основанием высоты. AKMP — прямоугольник (его три угла равны 90°, а значит, четвёртый тоже), в прямоугольнике диагонали равны, следовательно, KP=AM. Отрезок AM имеет наименьшую длину тогда, когда является высотой (ведь кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр).