Три вектора отложены из одной точки. а=(4, 3,-1) b=(3, 2,-5) c=(5, 5,1). Найти высоту пирамиды, опущенную из конца вектора а.

Находим объём пирамиды.

              |X1    Y1    Z1|               |4     3    -1|

V = (1/6)*|X2   Y2   Z2|  =  (1/6)*|3     2    -5|

              |X3   Y3   Z3|              |5     5      1|   = (1/6)* 4*2*1 + 3*(-5)*5 + (-1)*3*5 -

(-1)*2*5 - 4*(-5)*5 - 3*3*1 = (1/6)*19 = 19/6.

Находим площадь треугольника АВС, лежащего против конца вектора "а".  Формула векторного произведения:

Произведение векторов а × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.      S(ABC) = (1/2)*b*c =    

i j k

bx by bz

cx cy cz

 =  

i j k

3 2 -5

5 5 1

 = i (2·1 - (-5)·5) - j (3·1 - (-5)·5) + k (3·5 - 2·5) =  

= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; -28; 5}.

Площадь равна (1/2)√(27² + (-28)² + 5²) = (1/2)√1538 ≈ 19,60867.

Теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости АВС как высоту пирамиды.

Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/6)/(√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.