Вокруг сферы радиуса R описана правильная треугольная пирамида. Вычислите наименьшее значение объёма такой пирамиды.

Для правильного тетраэдра известна формула:

Радиус вписанной сферы R =  a√6/12.

Отсюда сторона основания равна:

а = 12R/√6 = 2√6R.

Объём пирамиды V = a³√2/12.

Подставим значение стороны а:

V = (2√6R)³*√2/12 = (48√6R³)*√2/12 = 8√3R³.