Даны параллелограмм и прямая, параллельная одной из его диагонали. Докажите, что продолжения параллельных сторон параллелограмма отсекают от этой прямой равные отрезки.

Рассмотрим угол с вершиной A, на стороне которого отложены равные друг другу отрезки AA1, A1A2, A2A3, A3A4, …, и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла в точках B1, B2, B3, B4, … (рис. 75). Докажем, что отрезки AB1, B1B2, B2B3, B3B4, … равны друг другу.

Прямая A1B1 проходит через середину A1 стороны AA2 треугольника AA2B2 параллельно его стороне A2B2, поэтому AB1 = B1B2. Прямая A2B2 проходит через середину A2 боковой стороны трапеции A1A3B3B1 параллельно ее основаниям, поэтому B1B2 = B2B3. Аналогично доказывается, что B2B3 = B3B4 и т. д. Следовательно, все отрезки AB1, B1B2, B2B3, B3B4, … равны друг другу. Теорема доказана.

Огромное спасибо

Ты знаком с теоремой Фалеса?

Если на одной из сторон угла от его вершины отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные меду собой отрезки.

Так вот именно по теореме Фалеса соблюдается такое равенство. В комментариях доказательство теоремы жди)