В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6см и наклонено к основанию под углом 30 градусов. Найти объем и полную поверхность пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра L на основание равна (2/3) высоты основания h.

(2/3)h = L*cos 30° = 6*(√3/2) = 3√3 см.

h = (3√3)*(3/2) = 9√3/2.

Отсюда находим сторону а основания из выражения:

h = a√3/2.

Тогда а = 2h/√3  = (2*(9√3/2))*/√3 = 9 см.

Площадь основания So = a²√3/4 = 81√3/4.

Находим апофему А:

А = √(L² - (a/2)²) = √(36 - (9/2)²) = √(36 - (81/4)) = √63/2.

Периметр основания Р = 3а = 3*9 = 27 см.

Находим площадь боковой поверхности.

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*27*(√63/2) = 27√63/4 см².

Полная площадь поверхности пирамиды равна:

S = So + Sбок = (81√3/4) + (27√63/4) = (27/4)(3√3 + √63).

Высота H пирамиды равна: H = L*sin 30° = 6*(1/2) = 3 см.

Тогда объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(81√3/4)*3 = (81√3/4) см³.