В ΔABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите радиус вписанной в ΔABC окружности.

В ΔABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите радиус вписанной в ΔABC окружности.РЕШЕНИЕ:• Рассмотрим тр. АВD:BP - биссектриса и высотаЗначит, тр. ABD - равнобедренный , АB = BD , АР = PD = AD/2 = 4/2 = 2• Проведём из точки С прямую, параллельную прямой AD до пересечения с прямой АВ в точке К.• Отсюда BD = DC = AB = AK =>тр. ВСK - равнобедренный , ВК = ВС ,ВР перпендикулярен АDСоответственно, ВН перпендикулярен КСВН - биссектриса, медиана , высота.• Медианы ВН и АС тр. ВСК пересекаются в точке Е =>Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины. ВЕ : ЕН = 2 : 1 . ЕН = ВЕ / 2 = 4 / 2 = 2 ВН = ВЕ + ЕН = 4 + 2 = 6 Но ВР = РН = ВН / 2 = 6 / 2 = 3 РЕ = ВЕ - ВР = 4 - 3 = 1• Рассмотрим тр. АВР (угол АРВ = 90°):По теореме Пифагора:АВ^2 = АР^2 + ВР^2АВ^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13АВ = V13 Соответственно, ВС = 2•АВ = 2V13• Рассмотрим тр. АРЕ (угол АРЕ = 90°):По теореме Пифагора:АЕ^2 = АР^2 + РЕ^2АЕ^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5АЕ = V5• По свойству медианы:ЕС = 2 • АЕ = 2V5АС = АЕ + ЕС = V5 + 2V5 = 3V5В итоге получаем известные стороны треугольника АВС: АВ = V13 ; BC = 2V13 ; AC = 3V5• По теореме косинусов:АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2•АВ•ВС•cos B( 3V5 )^2 = ( V13 )^2 + ( 2V13 )^2 - 2•V13•2V13•cos B45 = 13 + 52 - 52•cos Bcos B = 5 / 13 => sin B = 12 / 13• Площадь тр. АВС: S abc = AB • BC • sin B / 2 = ( V13 • 2V13 • 12/13 ) / 2 = 12• Воспользовшись следующей формулой найдём искомый радиус вписанной окружности в тр. АВС:ОТВЕТ: V13 - V5