Две окружности пересекаются в точках A и B .Через точку B проведена секущая, которая пересекает окружности в точках C и D . Докажите ,что величина угла CAD является постоянной для всех секущих ,проходящих через точку B .

а рисунок

Углы DCB и CDB равны, так как они вписанные и опираются на равные дуги равных окружностей. Поэтому треугольник CDB – равнобедренный, а EF – серединный перпендикуляр к отрезку CD.  

 Пусть точки E и D лежат на одной окружности, C и F– на другой и точка E лежит между B и F. Поскольку  ∠FDC = ∠FCD = ∠FBA = ∠EBA = ∠ADE = ∠CDE,  треугольник EDF – равнобедренный и DC – серединный перпендикуляр к отрезку EF. Следовательно, CEDF – ромб.

Углы DCB и CDB равны, т.к. они вписанные и опираются на равные дуги равных окружностей. Поэтому треугольник CDB – равнобедренный, а EF – серединный перпендикуляр к отрезку CD. Пусть точки E и D лежат на одной окружности, C и F – на другой и точка E лежит между B и F. Поскольку  ∠FDC = ∠FCD = ∠FBA = ∠EBA = ∠ADE = ∠CDE,  треугольник EDF – равнобедренный и DC – серединный перпендикуляр к отрезку EF. Следовательно, CEDF – ромб.