У прямокутному трикутнику висота і медіана проведені з вершини прямого кута відповідно дорівнюють 40 і 41 см.Знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї ж вершини

В прямоугольном треугольнике высота и медиана проведены с вершины прямого угла соответственно равны 40 и 41 см .Найти длину биссектрисы, проведенной из этой же вершины

Возьмём треугольник ABC ( угол В=90 градусов), в котором ВН -высота, ВM - медиана

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, соответственно ВM = АM=CM=41 см.

В треугольнике ВНM найдём НM по теореме Пифагора:

НM=√(41²-40²)=√(1681 - 1600) = 9 см.

3)тогда AН = AM - НM =41 - 9 = 32 см.

Тогда сторона АВ по теореме Пифагора равна:

АВ=√(40² + 32²)=√(1600 + 1024) = √2624 = 8√41 см.

Аналогично сторона ВС равна:

ВС = √(82² - (8√41²) = √(6724 - 2624) = √4100 = 10√41 см.

Теперь все стороны треугольника АВС известны, биссектрису ВК в нём из вершины В можно найти несколькими способами.

Можно применить готовую формулу:

ВК = (2/(а + с)*√(аср(р - в)). Здесь полупериметр р = 98,628118 см.

Подставив данные, получим ВК = 40,246156 см.

Можно по теореме косинусов.

Тангенс угла С равен (8√41 /10√41 ) = 4/5.

Косинус С = 1/(√(1 + (4/5)²) = 5/√41.

Находим СК по свойству биссектрисы АВ/АК = ВС/СК.

СК/10√41  = (82 - СК)/8√41.

Отсюда находим СК = (410/9) см.

Тогда биссектриса ВК равна:

ВК = √((10√41)² + (410/9)² - 2*(10√41)*(410/9)*(5/√41 ) = 40,24616 см.