Медианы, проведенные из вершин A и B треугольника ABC, перпендикулярны друг другу. Найдите площадь квадрата со стороной AB, если BC=28, AC=44

Ответ:

S = 544 ед²

Объяснение:

Треугольник АВС. Медианы АР и ВН, пересекаясь в точке О, образуют прямоугольные треугольники АОН и ВОР.

В треугольнике АОН по Пифагору: АН² = АО² + ОН², а в треугольнике ВОВ -

ВР² = ВО² + ОР². Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. => АО =(2/3)*ВН; ОН = (1/3)*ВН.; АО =(2/3)*АР; ОР = (1/3)*АР.

Тогда АН² = (2*АР/3)² + (ВН/3)² => 9*АН² = 4*АР² + ВН². Аналогично

9*ВР² = 4*ВН² + АР².

АН = АС/2 =22 ед. ВР = ВС/2 =14 ед. ( Так как АР и ВН - медианы).

Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, получаем:

ВН² = 180; АР² = 1044. Подставляем эти значения:

АВ² = ВО² + АО² = (4/9)*(ВН² + АР²) = 4*(180+1044)/9 = 544 ед².

Это и есть площадь квадрата со стороной АВ.