Окружность с центром О на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС. Известно, что AO = 3, OC = 4 и BO = 6. Найти радиус окружности и площадь треугольника АВС. Прошу подробное решение.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

ОP=OT=OK=OM=5

АК=АО–ОК=13–5=8

ВМ=ВО–МО=7–5=2

По теореме Пифагора из треугольника APO

АP=√AO2–OP2=√132–52=√144=12

Обозначим ∠ СAB=α

sinα = OP/AO = 5/13;

cosα = AP/AO = 12/13.

По теореме Пифагора из треугольника BTO

BT=√BO2–OT2=√72–52=√24=2√6

Обозначим ∠ СBA=β

sinβ = OT/OB = 2√6/7;

cos β =BT/OB=5/7.

Так как AB=13+7=20

по теореме синусов

AB/sin ∠ ACB=2R  

∠ ACB=180 ° – α – β  

sin∠ ACB=sin(180 ° – α – β )=sin( α+ β)=

=sin α ·cos β +cos α ·sin β =

=(5/13)·(2√6/7)+(12/13)·(5/7)=10(6+√6)/91

R=10·91/10·(6+√6)= 91/(6+√6)

О т в е т. 91/(6+√6)