8 класс
задание на фото
подробное решение

1)  АВСД - трапеция ,  АД=8 см , ВС=4 см , ∠АДС=30° ,  ∠ВАД=60° .

Проведём ВН⊥АД  и  СК⊥АД . Получим прямоугольные треугольники АВН и СДК.  ВСКН - прямоугольник , так как ВН║СК (если два перпендикуляра проведены к одной прямой, то они между собой будут параллельны) и  ВС║НК, так как это основания трапеции) .

ВС=НК=4 см , ВН=СК. Обозначим КД=х , тогда АН=АД-НК-КД=8-4-х=4-х

ΔАВН:  ∠АНВ=90° , ∠А=60° .  (4-х)/АВ=cos60°  ⇒  AB=(4-x)/cos60°=(4-x)/(0,5)=2(4-x).

BH/AB=sin60°  ⇒   BH=ABsin60°=2(4-x)·√3/2=√3·(4-x) .

ΔСКД:  ∠СКД=90° , ∠СДК=30° ,

х/CД=cos30°  ⇒  CД=x/cos30°=x/(√3/2)=2x/√3 .

CK/СД=sin30°  ⇒CK=СД·sin30°=(2x/√3)·(1/2)=x/√3 .

BH=CK   ⇒   х/√3=√3·(4-x)  ⇒   3(4-x)=x  ,  12-3x=х  ,  4x=12 , х=3 .

КД=х=3 см ,  АВ=2(4-х)=2(4-3)=2 см  ,  СД=2х/√3=2·3/√3=2√3 см.

2)  АВСД - трапеция , ВС=6 см ,  АД=11 см ,  АВ=3 см ,  СД=4 см .

ВМ=МС , AN=NД . Найти MN.

Проведём два отрезка из точки М, параллельно боковым сторонам. Получим отрезки МР║АВ , МК║СД . А также получим два параллелограмма АВМР и ДСМК  ⇒  МР=АВ=3 см ,  МК=СД=4 см .

Рассмотрим ΔРМК. РК=АД-(АР+КД)=АД-(ВМ+МС)=АД=ВС=11-6=5 (см).

Получили ΔРМК со сторонами 3 см , 4 см , 5 см . Это прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см и гипотенузой 5 см: 3²+4²=5² .

∠РМК=90°  ⇒  МN - медиана прямоугольного треугольника, проведённая из прямого угла. По известной теореме она равна половине гипотенузы, то есть MN=1/2·РК=1/2·5=2,5 (см) .