Диагонали равнобедренной трапеции являються биссектрисами её острых углов. Найдите среднюю линию трапеции, если её периметр равен 22см, а диагональ делит высоту, проведённую с вершины тупого угла, в отношении 4:3

Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.

Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a

рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.

Для малого

tg (β) = 3x/(11-2a)

Для большого

tg (2β) = 7x/(11-2a)

Разделим одно уравнение на другое

tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))

tg (2β)/tg (β) = 7/3

---

по формуле тангенса половинного угла

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))

---

2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3

1 - tg² (β) = 6/7

tg² (β) = 1/7

tg (β) = 1/√7

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3

---

выразим косинус двойного угла через тангенс β

cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4

Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне

cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4

44 - 8a = 3a

44 = 11a

a = 4

Это малое основание

Большое основание

b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10

Средняя линия

c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7