Координаты вершин пирамиды A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0) .. Вычислить: 1) объем пирамиды; 2) длину ребра AB ; 3) площадь грани ABC ; 4) угол между ребрами AB и AD .

Даны координаты вершин пирамиды:

A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0).

Вычислить: 1) объем пирамиды.

Вектор АВ:    x      y   z

                        2     3   -3    Модуль (длина) = √22  ≈  4,690416.

Вектор АС:    x y      z

                       1  4  4    Модуль (длина) = √33 ≈ 5,744563.

Вектор AД:    x y z

                      -3 3 -1    Модуль (длина) = √19 ≈ 4,358899.

Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:        

(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

Здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения АВхАС.

Подставив координаты точек, получим:

                   x     y        z

AB*AC =  ( 24       -11   5).

      АД=   ( -3        3        -1).

Объём пирамиды равен:

V = (1/6)*|24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1)| = (1/6)*110 ≈ 18,3333.

2) длину ребра AB - дана выше ;

3) площадь грани ABC равна половине векторного произведения АВхАС.  Выше получили: AB*AC =  ( 24       -11   5).

S(ABC) = (1/2)*√(24² + (-11)² + 5²) = (1/2)√722 ≈ (1/2)26,87006 ≈ 13,43503.

4) угол между ребрами AB и AD .

AB =    (2      3       -3),    |AB| = √22.

АД=   ( -3       3       -1),    |AD| = √19 .

Скалярное произведение равно 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.

cos(AB∧AD) = 6/(√22*√19) = 6/√418  ≈ 6/20,44505  ≈ 0,29347.

Угол равен 1,272942 радиан или 72,93421  градуса.