Решите пожалуйста. A(3;2);B(0;5);C(-3;2);D(0;-1). Доказать, что ABCD-квадрат. Найти S

Проекции вектора АВ равны:

АВх = хВ - хА =  0 - 3 = -3;   АВу = уВ - уА = 5 - 2 = 3

Длина вектора IАВI = √((- 3)² + 3²)) = √18  

Проекции вектора ВС равны:

ВСх = хС - хВ =  -3 - 0 = -3;   ВСу = уС - уВ = 2 - 5 = -3

Длина вектора IВСI = √((- 3)² + (-3)²) = √18

Проекции вектора СD равны:

СDх = хD - хC =  0 + 3 = 3;   СDу = уD - уC = -1 - 2 = -3

Длина вектора IСDI = √( 3² + (-3)²) = √18

Проекции вектора DA равны:

DAх = хA - хD =  3 - 0 = 3;   DAу = уA - уD = 2 + 1 = 3

Длина вектора IСDI = √( 3² + 3²) = √18

Итак, все стороны четырёхугольника АВСD равны по величине.

Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник является ромбом.

Скалярное произведение векторов АВ и ВС:

АВ · ВС = АВх · ВСх + АВу · ВСу = -3 · (-3) + 3 · (-3) = 0; Векторы АВ и ВС перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов CD  и ВС

СD · ВС = CDх · ВСх + CDу · ВСу = 3 · (-3) + (-3) · (-3) = 0; Векторы CD и ВС перпендикулярны.

Два угла ромба АВСD, прилежащие к одной стороне ВС прямые, следовательно и два других угла ромба прямые.

Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСD - квадрат cо стороной

а = √18

Площадь квадрата АВСD:    S = а² = 18