Даю 50 баллов.
В треугольнике ABC проведены высота BD, медиана BM и биссектриса BK.Известно, что угол DBK= углу KBM. Докажите, что угол ABC = 90 градусов.

1)

BK биссектриса, тогда ABK=KBC или ABD+DBK=CBM+KBM откуда ABD=CBM=y и DBK=x по теореме Штейнера получается

AD*AM/(CM*CD) = (AB/BC)^2 но так как AM=CM (медиана) AD/CD = (AB/BC)^2 (1) с одной стороны AD=AB*siny  и CD=BC*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников ABD и CBD соответственно.  

с другой AB/BC = cos(2x+y)/cosy  из треугольника ABC Подставляя в  (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy   откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x<180

откуда x=45-y  

Значит ABC=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр

2) Способ второй

Опишем около треугольника ABC окружность,  пусть X,H,Y точки пересечения BM,BK,BD с описанной окружностью.

Тогда из условия следует AX=CY и AH=CH (опираются на равные углы) так же получаем что H середина дуги XY так как BK биссектриса, HM высота и биссектриса равнобедренного треугольника AHC и XY || AC (так как AXYC) равнобедренная трапеция , значит BYX=BDA=90 гр, если F  точка пересечения  XY и MH тогда из подобия треугольников  XHM и XYB учитывая что XH=HY  откуда XM/BX=1/2 то есть BM=MX а так как  MX=MY (треугольники AMX и CMY равны) получаем BM=MX=MY треугольник BMY  равнобедренный , откуда  BD=YD откуда M центра описанной окружности, значит AC диаметр  откуда ABC=90 гр.