Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8√3 см. На ребре BB1 обозначили точку K так, что BK:KB1=3:5. Найти тангенс угла между плоскостями ABC и AKC, если расстояние между прямыми BC и A1C1 равно 16 см.

..........................................

Правильная треугольная призма  ABCA₁B₁C₁  ⇒ в основании лежит равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Прямые ВС и А₁С₁ - скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется по их общему перпендикуляру. Так как ВС⊥СС₁ и А₁С₁⊥СС₁  ⇒  СС₁=16 см ⇒

АА₁=ВВ₁=СС₁= 16 см

ВК : КВ₁ = 3:5  ⇒  3x+5x=16  ⇒   x=2

BK = 6 см;   KB₁ = 10 см

Проведём   BM⊥AC.  BM -  высота и медиана равностороннего ΔАВС.   AM = MC

см

ΔABK=ΔCBK - равны по по двум катетам  ⇒  AK=KC  ⇒

ΔAKC -  равнобедренный, AM=MC ⇒  KM⊥AC

KM⊥AC  и  BM⊥AC  ⇒   ∠KMB - линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и AKC.

ΔKMB - прямоугольный,  ВK = 6 см,  ВМ = 12 см

tg ∠KMB = KB/BM = 6/12 = 0,5

Ответ: 0,5