Дано: ∆ ABC, угол ABC=90 AB=BC=2√2, BD перепендикулярно (ABC), BD=√5 Найти: SadcС доказательством по ТТП

Дано: ∆ ABC, угол ABC=90 AB=BC=2√2, BD перепендикулярно (ABC), BD=√5 Найти: Sadc

С доказательством по ТТП
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  kale
- 6 лет назад

Ответы 1

ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы, следовательно, равны 45°. Найдём гипотенузу AC из определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе). У угла 45° синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{2\sqrt{2}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$AC*\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
$AC=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол ABD = углу CBD = 90°. AB = BC из условия, BD - общая сторона. Значит, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (т.е. по двум сторонам и углу между ними). Значит, AD = DC и треугольник ADC - равнобедренный.
Найдём CD по теореме Пифагора.
$CD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{8+5}=\sqrt{13}$
Если BM - высота, то её длина должна определяться по формуле: $BM=\frac{AB*BC}{AC}$ . Так как в равнобедренном треугольнике высота - это ещё и медиана, и биссектриса, то получим также, что $BM=AM=CM=\frac{AC}{2}$ (т.к. высота разобьёт равнобедренный прямоугольный треугольник на два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника).
$\frac{2\sqrt{2}*2\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{2}$
Так как 2 = 2, BM - высота, т.е. перпендикулярна стороне AC.
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах, DM также будет перпендикулярна AC. Площадь треугольника ADC - это полупроизведение его основания на высоту (т.е. DM).
Найдём DM из треугольника DBM по теореме Пифагора.
$DM=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$
Найдём площадь треугольника ADC.
$S=\frac{1}{2}*4*3=6$
Ответ: 6
- Автор:
  teodosia
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ